Crivo de Eratóstenes

📚 Introdução

O crivo de Eratóstenes é um algoritmo que permite encontrar todos os números primos até um determinado número n.

🤷 Como funciona?

Pense no seguinte problema, dado um número Q, devemos responder para cada número de 0 até Q-1 se ele é ou não é primo, por exemplo se Q = 100, precisamos responder para todo número de 0 até 99 se eles são primos. Como podemos resolver esse problema?

Uma solução ingênua seria, para cada um dos Q números (chamamos tal número de N), testar se ele é divisível por algum número de 2 até N-1, por exemplo:

def eh_primo(n):
    for i in range(2, n):
        if n % i == 0:
            return False
    return True

Esse algoritmo funciona, mas ele é muito lento, pois para cada um dos Q números, ele testa todos os números de 2 até N-1, o que resulta em uma complexidade de O(Q*N).

Podemos melhorar esse algoritmo, se percebermos que não precisamos testar todos os números de 2 até N-1, pois se um número N não for divisível por nenhum número de 2 até N-1, então ele não é divisível por nenhum número de 2 até N/2, pois se ele fosse divisível por um número maior que N/2, ele também seria divisível por um número menor que N/2.

Então podemos melhorar o algoritmo da seguinte forma:

def eh_primo(n):
    for i in range(2, n//2):
        if n % i == 0:
            return False
    return True

Agora o algoritmo está um pouco mais rápido, mas ainda é lento, pois para cada um dos Q números, ele testa todos os números de 2 até N/2, o que resulta em uma complexidade de O(Q*N/2).

Podemos melhorar ainda mais esse algoritmo, se percebermos que não precisamos testar todos os números de 2 até N/2, podemos testar apenas os números de 2 até a raiz quadrada de N + 1, essa é uma propriedade bem legal da matemática que nos permite reduzir a complexidade ainda mais.

O código ficaria da seguinte forma:

def eh_primo(n):
    for i in range(2, int(n**0.5)+1): #também podemos usar math.sqrt(n)
        if n % i == 0:
            return False
    return True

Agora o algoritmo está bem mais rápido, com uma complexidade de O(Q*sqrt(N)), porém para um número Q muito grande, esse código ainda pode demorar muito para responder para todos os N números.

Estamos esquecendo de algo muito importante! Se um dado número é primo, então duas vezes esse número não é primo, 3 vezes esse número não é primo e assim por diante, podemos visualizar isso na animação abaixo:

Podemos aplicar isso da seguinte forma, poderíamos usar um vetor e percorrer todos os números de 2 a Q, se ele estiver marcado, o número é um primo, então desmarcamos todos os múltiplos desse primo menores que Q, pois eles não são primos.

No final, só consultamos o vetor para ver se dado número é primo.

O código ficaria da seguinte forma:

def crivo(n):
    primos = [True for _ in range(n+1)]
    primos[0] = False  # 0 não é primo
    primos[1] = False  # 1 não é primo
    for i in range(2, n+1):
        if primos[i]:  # se i é primo
            for j in range(i*i, n+1, i):  # marca todos os múltiplos de i como não primos
                primos[j] = False
    return primos

Essa solução tem uma complexidade de O(N * log(log(N))), sendo assim bastante rápida.

Para finalizar, temos que ter em mente que o Crivo de Erástotenes é um algoritmo muito eficiente para encontrar todos os números primos até um determinado número, mas, temos que ter em mente que criamos uma lista com o tamanho do número Q, e que fazemos múltiplas operações repetidas, então em casos onde você precisa responder poucas vezes se um número é primo ou não, a solução ingênua otimizada pode ser mais eficiente.

🧑‍🏫 Exercícios

  • Exercício 1165 do Beecrowd, não tem muito o que falar sobre esse exercício, diga se um número é primo ou não!

  • Exercício 3002 do Beecrowd, esse exercício gira em torno de números primos e de uma propriedade matemática chamada de Conjectura de Goldbach, um problema muito interessante e que vale a pena tentar resolver!

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